Relasi dan Fungsi

Pertama-tama kita akan coba membahas relasi terlebih dahulu. Relasi adalah suatu aturan yang memasangkan anggota himpunan satu ke himpunan lainnya. Suatu relasi yang ada pada himpunan A dengan himpunan B biasa disebut dengan pemasangan atau korespondensi dari anggota yang ada di dalam himpunan A ke anggota yang ada di himpunan B.

Misalnya diketahui suatu himpunan A = {0, 1, 2, 5}; B = {1, 2, 3, 4, 6}, maka relasi dari himpunan A dengan himpunan B bisa di sajikan ke dalam diagram panan, diagram cartesius, himpunan pasangan berurutan, dan rumusnya bisa dilihat pada gambar di bawah ini.

a. Diagram panah

b. Diagram cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan

    R = {(0, 1), (1, 2), (2, 3), (5, 6)}

d. Rumus

    f(x) = x + 1, dimana x ∊ {0, 1, 2, 5} dan f(x) ∊ {1, 2, 3, 4, 6}

Pengertian Fungsi

Jika tadi pada bagian relasi dari himpunan A dan himpunan B dalam fungsi disebut fungsi dari A ke B jika setiap anggota A dipasangkan dengan tepat satu anggota B. Di dalam fungsi anggota dari himpunan A disebut domain (daerah asal), sedangkan anggota dari himpunan B disebut kodomain (daerah kawan) dan anggotan himpunan B yang berpasangan (himpunan C) disebut range (hasil) dari fungsi f.

Contoh soal 1.

Diketahui A = {1, 2, 3, 4} dan B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. Suatu fungsi f: A → B ditentukan oleh f(x) = 2x - 1.

a. Gambarlah fungsi f dengan diagram panah.

b. Tentukan range fungsi f.

c. Gambarlah grafik fungsi f

Jawab

a. 

b. f(x) = 2x - 1

    f(1) = 2.1 - 1 = 1                         f(3) = 2.3 - 1 = 5

    f(2) = 2.2 - 1 = 3                         f(4) = 2.4 - 1 = 7

    Jadi, range dari fungsi f adalah {1, 3, 5, 7}

c. Grafik fungsi

Macam-Macam Fungsi

1. Fungsi konstan (fungsi tetap)

Suatu fungsi f: A → B ditentukan dengan rumus f(x) disebut fungsi konstan apabila pada setiap anggota domain fungsi selalu berlaku selalu berlaku f(x) = C, dimana C merupakan bilangan yang konstan. Untuk lebih jelasnya bisa lihat contoh dibawah ini.

Contoh soal 2.

Diketahui f: R → R dengan rumus f(x) = 3 dengan daerah domain {x | -3 ≤ x < 2}. Tentukanlah gambar grafiknya

Jawab

2. Fungsi linier

Fungsi linier merupakan fungsi f(x) = ax + b, dimana a ≠ 0, a dan b termasuk bilangan konstan. Grafik linier berbentuk garis lurus. Untuk lebih jelasnya bisa lihat contoh dibawah ini.

Contoh soal 3.

Jika diketahui f(x) = 2x + 3, tentukanlah gambar grafiknya.

Jawab

3. Fungsi kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan fungsi f(x) = ax² + bx + c, dimana a ≠ 0 dan a, b, dan c adalah bilangan konstan. Grafik kuadrat berbentuk parabola. Untuk lebih jelasnya bisa lihat contoh dibawah ini.

Contoh soal 4.

Perhatikan gambar dibawah ini, fungsi f ditentukan oleh f(x) = x² + 2x - 3

Tentukanlah:

a. Domain fungsi f

b. Nilai minimum fungsi f.

c. Nilai maksimum fungsi f.

d. Range fungsi f adalah adalah {y | -4 ≤ x < 5}

e. Pembuat nol fungsi f.

f. Koordinat titik balik minimum.

Jawab

a. Domain fungsi f adalah {x | -4 ≤ x < 2}.

b. Nilai minimum fungsi f adalah -4.

c. Nilai maksimum fungsi f adalah 5

d. Range fungsi f adalah {y | -4 ≤ x < 5}

e. Koordinat titik balik minimum grafik fungsi f adalah (-1, -4)

4. Fungsi identitas

Fungsi identitas merupakan fungsi dimana berlaku f(x) = x atau setiap anggota domain / daerah asal dari fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi identitas merupakan garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik melalui ordinat yang sama. Fungsi identitas ditentukan f(x) = x. Untuk lebih jelasnya bisa lihat contoh dibawah ini.

Contoh soal 5.

Fungsi f(x) = x untuk setiap x.

a. Carilah f(-2), f(0), f(1), f(3)

b. gambarlah grafiknya

Jawab

a. f(x) = x

   f(-2) = -2

   f(0) = 0

   f(1) = 1

   f(3) = 3

b. 

5. Fungsi tangga (bertingkat)

Fungsi tangga merupakan fungsi f(x) yang berbentuk interval sejajar. Untuk lebih jelasnya bisa lihat contoh dibawah ini.

Contoh soal 6.
Diketahui fungsi f(x) = -1, jika x < 1
                                   = 0, jika -1 < x < 2
                                   = 2, jika 2 < x < 4

                                   = 3, jika x > 4

Tentukanlah inteval yang terbentuk dari:

a. f(-2)

b. f(0)

c. f(3)

d. f(3)

e. grafik yang terbentuk

Jawab

a. f(-2) = -1

b. f(0) = 0

c. f(3) = 2

d. f(3) = 3

e.

6. Fungsi modulus (mutlak)

Fungsi modulus (mutlak) adalah fungsi yang memetakan setiap bilangan real pada daerah asal suatu fungsi menjadi nilai mutlak.

7. Fungsi ganjil dan fungsi genap

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil jika berlaku f(-x) = -f(x) dan disebut fungsi genap jika berlaku f(-x) = f(x). Jika fungsi f(-x) ≠ -f(x) dan f(-x) ≠ f(x) maka bukan termasuk fungsi ganjil dan fungsi genap. Untuk lebih jelasnya bisa lihat contoh dibawah ini.

Contoh soal 7.

Tentukan fungsi f di bawah ini termasuk fungsi ganjil, fungsi genap, atau tidak.

a. f(x) = 2x³ + x

b. f(x) = 3 cos x - 5

c. f(x) = x² - 8x

Jawab

a. f(x) = 2x³ + x

    f(-x) = 2(-x)³ + (-x)

            = -2x³ - x

            = -(2x³ + x)

            = -f(x)

    Jadi, fungsi f(x) diatas adalah fungsi ganjil.

b. f(x) = 3 cos x³ - 5

    f(-x) = 3 cos (-x) - 5

            = 3 cos x - 5

            = f(x)

    Jadi, fungsi f(x) diatas adalah fungsi genap.

c. f(x) = x² - 8x

    f(-x) = (-x)² - 8(-x)

            = x² + 8x

   Fungsi f(-x) ≠ -f(x) dan f(-x) ≠ f(x)

   Jadi, fungsi f(x) diatas bukan fungsi ganjil dan fungsi genap.