Pendidikan Matematika

Dimensi Tiga

A. Pengertian Dimensi Tiga

Dimensi dalam matematika mengandung arti sebagai suatu parameter(ukuran/patokan). Sebagai misal saat kita menggambarkan sebuah kubus atau balok kita membutuhkan 3 patokan(dimensi) yaitu tentang panjangnya, lebaranya, serta tingginya. Dari sini dimunculkan pengertian Dimensi Tiga yaitu salah satu cabang matematika yang di dalamnya mempelajari hal-hal yang berkaitan dengan bangaun ruang. Selanjutnya hal-hal yang akan dipelajari dalam bangun ruang ini adalah kedudukan titik, garis, dan bidang termasuk juga yang berkaitan dengan 3 hal tersebut yaitu menghitung jarak dan besar sudut.

B. Unsur-Unsur Dalam Bangun Ruang

Perhatikan ilustrasi gambar kubus berikut

Ada garis horizontal, ada garis tegak dan sebagainya , selanjutnya ada beberapa hal yang perlu diketahui berkaitan dengan materi Ruang Dimensi Tiga ini sebagai misal ilustrasi kubus di atas, yaitu:

$\begin{array}{|p{0.5cm}|p{1.3cm}|p{8.0cm}|p{6.0cm}|}\hline No&Nama&Penjelasan&Contoh\\\hline 1&Titik&Titik tidak memiliki dimendi/ukuran. Biasanya digambarkan dengan noktah dan dituliskan dengan huruf kapital&Kalau pada kubus ABCD di atas adalah titik A, B, C, D, E, F, G, dan H.\\\hline 2&Garis&Pada bahasan ini maksudnya adalah garis lurus. Garis adalah kumpulan titik-titk. Suatu garis dapat diperpanjang sekehendak kita dan dituliskan dengan namanya saja yaitu dengan sebuah huruf kecil&Misalkan garis warna ungu yang melalui titik A dan titik G. \\\hline 3&Bidang&Sebuah bidang memiliki luas yang tak berhingga. Biasanya yang kita gambarkan hanya sebagiannya saja yang merupakan wakil dari bidang dan sesuai bahasan kita di sini adalah bidang datar. Dalam geometri sebuah bidang cukup digambarkan wakilnya saja dan diberi nama \boxed{\alpha ,\beta ,\gamma \: atau\: yang\: lainnya}.Dapat juga diberi nama dari titik-titik pada bidang itu&Perhatikan bidang alas pada kubus di atas yaitu bidang yang diwakili oleh ABCD dan lain-lain\\\hline \end{array}$ .

$\begin{array}{|p{0.4cm}|l|p{2,0cm}|p{13.0cm}|}\hline No&\: \textrm{Nama}&\quad Jenis&\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad Penjelasan\\\hline 1&\multicolumn{2}{l|}{\textbf{Bidang Gambar}}&Disebut juga bidang \textit{Euclid}, yaitu bidang atau sebuah tempat untuk menggambar atau melukis bangun ruang. Contoh bidang gambar adalah kertas untuk menggambar, papan whiteboar, dll\\\hline 2&\textrm{Bidang}&Frontal&Bidang yang mana posisinya sejajar dengan bidang gambar. Contohnya adalah pada kubus di atas adalah bidang ABFE dan DCGH\\\cline{3-4} &&Orthogonal&Bidang yang tegak lurus dengan bidang frontal baik ke arah depan maupun ke arah belakang secara vertikal dan horisontal. Contohnya pada kubus di atas untuk bidang orthogonal vertikal adalah BCGF dan ADHE, sedangkan untuk yang horisontal contohnya bidang ABCD dan EFGH\\\hline 3&\textrm{Garis}&Frontal&Garis yang terletak pada bidang frontal. Selanjuntnya garis tersebut dinamakan garis frontal. dan garis ini ada dua jenis, yaitu garis frontal vertikal dan garis frontal horisontal\\\cline{3-4} &&Orthogonal&Garis yang tegak lurus dengan bidang frontal\\\hline \end{array}$ .

C. Jarak Antar Titik

Jarak antara dua titik adalah panjang garis lurus yang menghubungkan kedua garis itu. untuk posisi dua buah titik sendiri minimal ada 2 yaitu

dua titik itu berimpit sehingga jaraknya nol, atau
dua titik itu berbeda posisi sehingga jaraknya adalah panjang ruas garis yang menghubungkan kedua titik itu.

D. Jarak Titik Ke Garis

Perlu diketahui sebelumnya posisi sebuah titik dengan sebuah garis atau ruas garis yaitu ada 2

posisi pertama titik itu terletak pada garis yang menyebabkan jaraknya nol, atau
posisi yang kedua di mana titik terletak di luar garis atau ruas garis di mana jaraknya adalah panjang ruas garis khusus yang ditarik dari titik tersebut yang tegak lurus terhadap garis itu.

E. Jarak Titik Ke Bidang

Posisi titik terhadap bidang juga ada dua

yang pertama titik terletak pada bidang yang menyebabkan jaraknya nol
yang kedua titik berada di luar bidang di mana jaraknya adalah panjang ruas garis yang tegak lurus yang menghubungkan titik tersebut dengan bidang.

Perhatikanlah ilsutrasi berikut untuk jarak titik ke bidang

Selanjutnya perhatikan tambahan penjelasan sebagai pelengkap materi di atas sebagaimana berikut:

1. Kedudukan

$\begin{array}{|p{0.4cm}|p{5.0cm}|p{11.0cm}|}\hline No&Kedudukan&Penjelasan\\\hline 1&Titik terhadap garis& Ada dua kemungkinan yaitu: \\&&Titik pada garis(berimpit) dan kemungkinan yang lain titik di luar garis\\\hline 2&Titik terhadap bidang&Kondisinya kurang lebih sama yaitu ada dua kemungkinan:\\&&Titik pada bidang(berimpit) atau titik berada di luar bidang\\\hline 3&Garis terhadap garis&Ada empat, yaitu;\\&&Dua garis itu kondisinya sejajar, atau saling berpotongan, bersilangan, atau berimpit \\\hline 4&Garis terhadap bidang&Ada tiga kemungkinan yaitu;\\&&Berimpit, sejajar atau menembus bidang \\\hline 5&Bidang terhadap Bidang&Ada tiga kemungkinan kalau tidak sejajar atau berpotongan atau mungkin juga berimpit \\\hline \end{array}$ .

2. Proyeksi

Sebagai gambarannya adalah setiap objek di muka bumi pada saat tengah hari serta matahari tepat membentuk sudut $90^{0}$ terhadap permukaan bumi akan mempunyai bayangan sebagaimana ilustrasi berikut ini

Pada bidang datar sebagaimana ilustrasi di atas proyeksi adalah bayangan yang terbentuk dari suatu bangun pada bidang datar dengan arah bayangan dengan bidang datar tersebut sebagai bidang proyeksi terbentuk sudut $90^{0}$ jika dilukiskan.

3. Hal yang berkaitan dengan Segitiga

a. Untuk Segitiga Siku-Siku

$\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textbf{No}&\quad\textbf{Rumus}&\qquad\qquad\textbf{Keterangan}\\\hline 1&\textbf{Pythagoras}&\left\{\begin{matrix} a^{2}+b^{2}=c^{2}\quad \textrm{atau}\\ &\\ AC^{2}+CB^{2}=AB^{2} \end{matrix}\right.\\\hline 2&\textbf{Luas}&\left [ ABC \right ]=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{1}{2}\times alas\times tinggi\\ \textrm{atau}\\ \displaystyle \frac{1}{2}.AC.CB\quad\qquad \end{matrix}\right.\\\hline 3&\textbf{Sisi}&\begin{cases} a &=c.\sin \angle A \\ &\textrm{atau}\\ b &= c.\cos\angle B \end{cases}\\\hline \end{array}$ .

b. Untuk Segitiga Tidak Siku-Siku

$\begin{array}{|c|l|l|}\hline \textbf{No}&\qquad\textbf{Istilah}&\qquad\qquad\textbf{Keterangan}\\\hline 1&\textbf{Luas}&\left [ ABC \right ]=\left\{\begin{matrix} \displaystyle \frac{1}{2}bc\sin \alpha \\ \displaystyle \frac{1}{2}ac\sin \beta \\ \displaystyle \frac{1}{2}ab\sin \gamma \end{matrix}\right.\\\cline{3-3} &&\begin{aligned}\textrm{Jika}\: \: s&=a+b+c,\: \: \textrm{maka}\\ \left [ ABC \right ]&=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{aligned}\\\hline 2&\textbf{Garis Tinggi}&\begin{cases} t_{a} &=\displaystyle \frac{2}{a}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &\textrm{atau}\\ t_{b} &=\displaystyle \frac{2}{a}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \\ &\textrm{atau}\\ t_{c} &=\displaystyle \frac{2}{a}\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{cases}\\\hline 3&\textbf{Aturan Sinus}&\displaystyle \frac{a}{\sin \alpha }=\frac{b}{\sin \beta }=\frac{c}{\sin \gamma }\\\hline 4&\textbf{Aturan Cosinus}&\begin{cases} \cos \alpha &=\displaystyle \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\\ &\textrm{atau}\\ \cos \beta &=\displaystyle \frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}\\ &\textrm{atau}\\ \cos \gamma &=\displaystyle \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \end{cases}\\\hline \end{array}$ .

$\LARGE{\fbox{\LARGE{\fbox{CONTOH SOAL}}}}$ .

Perhatikanlah kubus ABCD.EFGH berikut

$\textrm{Jika panjang sisi kubus 4 cm, tentukanlah}\\ \begin{tabular}{lll}\\ &a.&jarak titik P terhadap titik B\\ &b.&jarak titik F terhadap garis AC\\ &c.&jarak garis AG terhadap garis BF\\ &c.&jarak titik A ke bidang EFGH\end{tabular}.$ .

$\begin{array}{l}\\ \textbf{Jawab}:\\ \begin{array}{ll}\\ &\begin{aligned}\textrm{a}.\quad \textrm{BP}^{2}&=\textrm{BF}^{2}+\textrm{FP}^{2}\\ \textrm{BP}&=\sqrt{\textrm{BF}^{2}+\textrm{FP}^{2}}=\sqrt{\textrm{BF}^{2}+\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\textrm{FH} \right )^{2}}\\ &=\sqrt{\textrm{BF}^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}\left ( \textrm{FG}^{2}+\textrm{GH}^{2} \right )}\\ &=\sqrt{4^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}\left ( 4^{2}+4^{2} \right )}\\ &=\sqrt{16+8}\\ &=\sqrt{24}\\ \textrm{BP}&=2\sqrt{6}\quad \textrm{cm} \end{aligned}\\ &\begin{aligned}\textrm{b}.\quad \textrm{Misa}&\textrm{l proyeksi titik P pada bidang ABCD adalah titik Q, maka jarak titik F}\\ \textrm{ke g}&\textrm{aris AC sama dengan jarak titik F ke titik Q. Sehingga}\\ \textrm{FQ}^{2}&=\textrm{FB}^{2}+\textrm{BQ}^{2}\\ \textrm{FQ}&=\sqrt{\textrm{FB}^{2}+\textrm{BQ}^{2}}=\sqrt{\textrm{FB}^{2}+\left ( \displaystyle \frac{1}{2}\textrm{BD} \right )^{2}}\\ &=\sqrt{\textrm{FB}^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}\left ( \textrm{BC}^{2}+\textrm{CD}^{2} \right )}\\ &=\sqrt{4^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}\left ( 4^{2}+4^{2} \right )}\\ &=\sqrt{16+8}\\ &=\sqrt{24}\\ \textrm{FQ}&=2\sqrt{6}\quad \textrm{cm} \end{aligned}\\ &\textrm{c}.\quad \begin{aligned}\textrm{Jar}&\textrm{ak garis AG ke garis BF cukup diwakili dengan titik pertengahan AG}\\ \textrm{ke }&\textrm{pertengahan BF di mana panjangnya adalah sama saja dengan panjang}\\ \textrm{set}&\textrm{engah dari diagonal sisi. Sehingga jaraknya}=\textrm{BQ}=2\sqrt{2} \end{aligned}\\ &\textrm{d}.\quad \begin{aligned}\textrm{Jar}&\textrm{ak titik A ke bidang EFGH adalah sama saja jarak titik A ke titik E}\\ \textrm{kar}&\textrm{ena proyeksi titik A ke titik EFGH adalah titik E}\\ \textrm{seh}&\textrm{ingga jaraknya sama dengan panjang sisi AE}=4\: \: \textrm{cm} \end{aligned} \end{array} \end{array}$

Pendidikan Matematika

Kamis, 19 Desember 2019

Tidak ada komentar:

Posting Komentar