Barisan dan Deret Aritmatika

1. Pengertian Barisan Aritmatika

Sebelum memahami pengertian barisan aritmatika kita harus mengetahui terlebih dahulu mengenai pengertian basiran bilangan. Barisan bilangan merupakan sebuah urutan dari bilangan yang dibentuk dengan berdasarkan kepada aturan-aturan tertentu. Sedangkan barisan aritmetika dapat didefinisikan sebagai suatu barisan bilangan yang tiap-tiap pasangan suku yang berurutan mengandung nilai selisih yang sama persis, contohnya adalah barisan bilangan: 2, 4 , 6, 8, 10, 12, 14, …

Barisan bilangan tersebut dapat disebut sebagai barisana aritmatika karena masing-masing suku memiliki selisih yang sama yaitu 2. Nilai selisih yang muncul pada barisan aritmatika biasa dilambangkan dengan menggunakan huruf b. Setiap bilangan yang membentuk urutan suatu barisan aritmatika disebut dengan suku. Suku ke n dari sebuah barisan aritmatika dapat disimbolkan dengan lambang Un jadi untuk menuliskan suku ke 3 dari sebuah barisan kita dapat menulis U3. Namun, ada pengecualian khusus untuk suku pertama di dalam sebuah barisan bilangan, suku pertama disimbolkan dengan menggunakan huruf a.

Maka, secara umum suatu barian aritmatika memiliki bentuk :

U1,U2,U3,U4,U5,…Un-1

a, atb, a+2b, a+3b, a+4b,…a+(n-1)b

Cara Menentukan Rumus suku ke-n dari Sebuah Barisan

Pada barisan aritmatika, mencaru rumus suku ke-n menjadi lebih mudah karena memiliki nilai selisih yang sama, sehingga rumusnya adalah:

U2 = a + b

U3 = u2 + b = (a + b)  + b = a + 2b

U4 = u3 + b = (a + 2b) + b = a + 3b

U5 = u4 + b = (a + 3b) + b = a + 4b

U6 = u5 + b = (a + 4b) + b = a + 5b

U7 = u6 + b = (a + 5b) + b = a + 6b

.

.

.

U68 = u67+b = (a + 66b) + b = a + 67b

U87 = u86+b = (a + 85b) + b = a + 86b

Berdasarkan kepada pola urutan diatas, maka kita dapat menyimpulkan bahwa rumus ke-n dari sebuah barisan aritmatika adalah:

Un = a + (n – 1)b dimana n merupakan bilangan asli

Beda di rumuskan dengan : B = Un – Un-1

Suku ke-n dari barisan Aritmatika dirumuskan :

Un = a + (n – 1)b                 Dimana : a = suku pertama

B = beda

Jika n ganjil , maka suku tengahnya dirumuskan :

Ut = ½(a + Un) dimana t = ½(n + 1)

Jika diantara 2 suku disisipkan K buah suku maka barisan tersebut memiliki beda baru (b’) yang dirumuskan :

B = b/k+1

Contoh soal Barisan Aritmatika.

1. Tentukan suku ke-25 dari barisan deret aritmatika : 1, 3, 5, 7, … ?

Jawab :

Dik :

deret : 1. 3, 5, 7, …

a = 1

b = 3-1 = 5-3 = 7-5 = 2

Un = a + (n-1) b

= 1 + (25-1)2

= 1 +   (24).2

= 1 + 48

= 49

Jadi nilai dari suku ke-25 (U25) adalah 49

2. Jika diketahui nilai dari suku ke-15 dari suatu deret arimatika adalah 32 dan beda deret adalah 2, maka  cari nilai dari suku pertamanya ?

Jawab :

Dik :

U15 = 32

b = 2

n = 15

Ditanya : a ?

Penyelesaian :

Un = a + (n-1) b

U15 = a + (15-1) 2

32 = a + (14).2

32 = a + 28

a = 32 – 28

a = 4

Jadi nilai dari suku pertama (a) dari deret tersebut adalah 4.

3. Diketahui suatu barisan aritmatika dengan suku ke-7 adalah 33 dan suku ke-12 adalah 58.

Tentukan : a). Suku pertama (a) dan beda (b)

b). Besarnya suku ke-10

Jawab :
Diketahui :

U7 = 33

U12 = 58

Penyelesaian :

a). U7  = a + (7-1)b

33  = a + 6b

U12 = a + (12-1)b

58   = a + 11b

Lakukan metode subtitusi pada kedua persamaan tersebut.

58 = a + 11b

33 = a + 6b   (-)

25 = 5b

b = 25/5

b = 5

33 = a + 6b

33 = a + 6.(5)

33 = a + 30

a   =  33 – 30

a   = 3

b). Un = a + (n-1) b

U10 = 3 + (10-1). 5

= 3 + (9).5

= 3 + 45

= 48

4. Dalam suatu barisan aritmatika, jika U3 + U7 = 56 dan U6 + U10 = 86 , maka suku ke-2 deret tersebut adalah ?

Jawab :

U3 + U7 = 56

(a + 2b) + (a +6b) = 56

2a + 8b = 56                (dibagi 2)

a + 4b = 8                    ….(1)

U6 + U10 = 86

(a + 5b) + (a + 9b) = 86

2a + 14b = 86              (dibagi 2)

a + 7b = 43                  ….(2)

Eliminasi (1) dan (2)

a + 4b = 8

a + 7b = 43 –

-3b = -15

b = 5            ….(3)

a = 8

jadi suku k-2 deret tersebut : U2 = a + b = 8 + 5 = 13.

5. Diketahui barisan aritmatika dengan Un adalah suku ke-n. jika U2 + U15 + U40 = 16 5, maka U19 ?

INGAT bahwa : Un = a + (n – 1)b

U2 + U15 + U40 = 165

(a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165

3a + 54b = 165

a + 18b = 55

sehingga U19 = a + (19 – 1)b

= a + 18b = 55 .

6. Diketahui barisan aritmetika  3, 8, 13, …
7. Tentukan suku ke-10 dan rumus suku ke-n barisan tersebut!
8. Suku keberapakah yang nilainya 198 ?

Jawab :

a.Dari barisan aritmetika 3, 8, 13, … diperoleh suku pertama a = 3 dan beda b = 8 – 3 = 5.

Un   = a + (n – 1)b

U10  = 3 + (10 – 1)5

= 3 + 9 x 5

= 3 + 45

= 48

Un   = a + (n – 1)b

= 3 + (n – 1)5

= 3 + 5n – 5

= 5n – 2

1. Misalkan Un = 198, maka berlaku :

Un  = 198

5n – 2 = 198

5n  = 200

n = 40

Jadi 198 adalah suku ke- 40

2. Pengertian Deret Aritmatika

Deret aritmatika dapat didefinisikan sebagai jumlah keseluruhan dari anggota barisan aritmatika yang dihitung secara berurutan. Sebagai contoh kita ambil sebuah barisan aritmatika 8,12,16,20,24 maka deret aritmatikanya adalah 8+12+16+20+24

Untuk menghitung deret aritmatika tersebut masih terbilang mudah kaerna jumlah sukunya masih sedikit:

8+12+16+20+24 = 80

Namun, bayangkan jika deret aritmatika tersebut terdiri dari ratusan suku, tentu akan sulit untuk menghitungnya, bukan? Oleh karenanya, kita harus mengetahui rumus untuk menghitung jumlah deret aritmatika. Rumus yang biasa digunakan adalah:

Sn = 1/2 n (2a+(n-1)b)

Contoh soal Deret Aritmatika.

1.Hitunglah jumlah 20 suku pertama dari deret arimetika  3 +  5 + 7 + …..

Jawab :

A = 3, b = 5 – 3 = 2, dan n = 20, maka :

S20 = 10( 6 + 19.2)

= 10 ( 6 + 38)

= 10 ( 44 }

= 440

2.Suatu deret aritmatika mempunyai beda 2 dan jumlah 20 suku pertamanya adalah 240, jumlah 7 suku pertamanya adalah ?

Jawab :

B = 2

S2o= 240

Ingat bahwa : Sn = n/2(2a + (n -1)b

S20 = 20/2(2.a + (20 – 1).2)

240=10(2a + 38)

240=20a +380 dibagi 10

24=2a +38

2a=24-38

2a=-14

A=-7

Sehingga :

S7 = 7/2(2a + (7 – 1)b)

=7/2(2(-7) + (7 – 1)2)

=7/2(-14 + 12 )

= -7

3. Dari suatu deret aritmatika dengan suku ke-n adalah U . diketahui U3 + U6 + U9 + U12 = 72. Jumlah 14 suku pertama deret ini adalah ?

Jawab :

Suku ke-n dari barisan aritmatika dirumuskan : Un = a + (n – 1)b

Sehingga :

U3 + U6 + U9 + U12 = 72

(a +2b) + (a + 5b) + (a + 11b) = 72

4a + 26b = 72              (dibagi dengan 2)

2a + 13b = 36

Ingat bahwa jumlah n-suku pertama deret aritmatika :

Sn = n/2(2a + (n -1)b

S14 = 14/2(2a + 13b) = 7(36) =252.

4.Diketahui     : U3 = 36, U5 + U7 = 144
Ditanya    : S10 ?
Jawab    :
Un = a + ( n – 1 )b
U3 = 36
U3 = a + ( 3 – 1 )b = 36
U3 = a + 2b = 36     … (1)
U5 + U7 = 144    { U5 = a + ( 5 – 1 )b }, { U7 = a + ( 7 – 1 )b }
( a + 4b ) + ( a + 6b ) = 144
2a + 10b = 144    … (2)
Eliminasi kedua persamaan :
a + 2b = 36     … (1)    | x 2        2a + 4b = 72
2a + 10b = 144    … (2)    | x 1        2a + 10b = 144 –
–6b = –72
b = 12
Subtitusi nilai b ke salah satu persamaan :
a + 2b = 36     … (1)
a + 2(12) = 36
a = 36 – 24
a = 12
Setelah nilai a dan b kita dapatkan baru kita mencari nilai dari S10
Sn = □(n/2) { 2a + ( n – 1 )b }
S10 =  □(10/2) { 2(12) + ( 10 – 1 )12 }
S10 =  5 { 24 + (9)12 }
S10 =  5 { 24 + 108 }
S10 =  5 { 132 }
S10 =  660

5. Misal saya punya sejumlah kelereng. Kelereng tersebut akan saya bagikan habis ke 5 orang dari sobat hitung menurut suatu aturan barisan aritmatika. Jika orang ketiga dapat 15 kelerang dan orang ke-4 dapat 19 kelerang. Berapa jumlah kelereng yang saya punya?

Pembahasan
Jumlah kelereng = deret artimatika dengan n = 5 (S5). Pertama kita cari nilai a dan b.

U3 = 15 ⇔ a+2b = 15 …. (i)
U4 = 15 ⇔ a+3b = 19 …. (ii)
……………………………………………. – (eliminasi)
– b = -4  ⇔ b = 4

a+2b = 15
a+8 = 15
a = 7
S5 = 1/2 5 (2(7)+(5-1)4) = 5/2 (30) = 75 buah kelereng.