Pengertian Suku Banyak

Sistem persamaan polinomial (suku banyak) adalah sistem persamaan dengan pangkat tertingginya lebih besar dari 2 ( > 2). Bentuk umum dari polinomial adalah sebagai berikut: 

Dimana : 

1. Derajat (n) adalah pangkat tertinggi dalam suatu suku banyak.
2. Variabel (x) adalah bilangan yang dimisalkan dengan huruf misalnya x.
3. Koefisien (a) adalah bilangan yang mengikuti variabel. 

Contoh persamaan dari sistem polinomial adalah 2x³+5x²+6x=8 = 0.

Operasi pada Suku Banyak

Suatu persamaan polinomial memiliki operasi dasar yang sama dengan sistem persamaan kuadrat yaitu : operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian suku banyak. Teorema nya adalah sebagai berikut : jika f(x) dan g(x) berturut-turut adalah suku banyak berderajat m dan n, maka : 

1. f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum m atau n. 
2. f(x) x g(x) adalah suku banyak berderajat (m + n). 

Contohnya : 

1. Penjumlahan

2. Pengurangan

Kesamaan Suku Banyak

Misalkan terdapat suku banyak yaitu : 

Dan suku banyak yang lain adalah :  

Jika f(x) ≡ g(x) maka haruslah a_n= b_n,  a_n-1= b_n-1, ……… a₁= b₁

f(x) ≡ g(x) disebut dengan kesamaan polinomial. 

Dua buah sistem persamaan polinomial dikatakan memiliki kesamaan jika keduanya : 

• Memiliki derajat yang sama.
• Memiliki variabel dan koefisien seletak yang sama antara polinomial ruas kiri dengan kanan.

Pada kesamaan polinomial tidak berlaku pindah ruas atau kali silang seperti yang terjadi pada operasi aljabar.

Contoh Soal Kesamaan Polinomial

1. Jika α dan β adalah akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c = 0, tentukan nilai α + β dan hasil dari α.β

Jawaban : 

Pembagian Suku Banyak 

Suatu fungsi suku banyak dapat dilakukan operasi pembagian terhadap fungsi lainnya. Ada dua cara yang dapat dilakukan yaitu pembagian suku banyak dengan cara bersusun dan dengan metode horner (bagan). 

1. Pembagian suku banyak dengan strategi pembagian bersusun

Misalkan suku banyak fx= a₂x²+a₁x+ a₀ dibagi dengan (x-k) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S, sehingga diperoleh hubungan : 

Untuk menentukan hasil bagi H(x) dan sisa S digunakan pembagian suku banyak dengan cara pembagian bersusun berikut ini : 

Jadi, Hasil bagi H(x) = a₂x + a₂k + a₁ (pada bagian atas) dan sisa S (pada bagian bawah) = a₀+ a₁k + a₂k²

2. Pembagian suku banyak menggunakan metode horner

Aturan penggunaan metode horner pada operasi pembagian adalah sebagai berikut : 

1. Letakkan seluruh koefisien dari derajat tertinggi sampai nol di bagian atas (selalu dimulai dari pangkat tertinggi dan berurutan). Apabila terdapat suku banyak yang tidak ada contohnya  2x⁴ + 3x²-5x-9 = 0. Maka koefisien untuk pangkat x³ dapat ditulis 0. 
2. Letakkan faktor pengali di samping kiri.
3. Baris bawah bagian kiri adalah hasil bagi, sedangkan bagian kanan adalah sisa. Atau dapat ditulis sebagai berikut : 

Proses pembagian menggunakan metode horner dapat dijelaskan seperti dibawah ini : 

Jadi, hasil bagi H(x) = a₂x+a₂k+ a₁ dan sisa S = a₂k²+a₁k+ a₀

Contoh Soal Pembagian Suku Banyak

1. Tentukan hasil bagi 4x⁵+3x³-6x²-5x+1 bila dibagi dengan 2x-1 menggunakan metode pembagian bersusun dan metode horner! 

a. Metode pembagian bersusun

b. Metode horner

Dari persamaan diatas, hasil bagi dan sisa yang diperoleh adalah sama yaitu 2x⁴+x³+2x²-2x-7/2 dan sisanya = -5/2

Teorema Sisa (Dalil Sisa)

Teorema ini digunakan untuk menentukan nilai sisa pembagian suatu suku banyak tanpa mengetahui suku banyak dan/atau hasil baginya. Bentuk umum dari teorema sisa adalah adalah sebagai berikut :  Misalkan suku banyak f(x) dibagi dengan P(x) memberikan hasil bagi H(x) dan sisa S(x), maka akan diperoleh hubungan : 

Jika F(x) suku banyak berderajat n dan P(x) adalah pembagi berderajat m, dengan m ≤ n, maka diperoleh : 

1. H(x) adalah hasil bagi berderajat (n-m).
2. S(x) adalah sisa pembagian berderajat maksimum (m-1).

Syarat pembagi menggunakan teorema sisa terdapat dengan dua cara yaitu : 

a. Pembagian dengan (x-k)

Teorema Sisa bagian 1: “ jika suku banyak f(x) berderajat n dibagi dengan (x-k) maka sisanya S=f(k), sisa f(k) adalah nilai suku banyak x=k yang dapat ditentukan dengan strategi substitusi atau strategi skema (bagan) ”.

b. Pembagian dengan (ax+b)

Contoh soal : Teorema Sisa (Dalil Sisa) 

1. Carilah sisa pembagi suku banyak 8x³-2x²+5 dengan (x+2)

Pembahasan : 

a. Menggunakan substitusi

b. Menggunakan skema (bagan) dengan pembagian (x-k)

Jadi, sisanya S = f(-2) = -67 menggunakan teorema sisa. 

Teorama Faktor

Teorema faktor dapat digunakan untuk menentukan faktor lain atau akar-akar rasional dari sistem persamaan suku banyak menggunakan metode horner. Pada teorema faktor menjelaskan 2 konsep yaitu :  

1. Jika P(x) habis dibagi q(x) atau mempunyai sisa nol, maka q(x) adalah faktor dari P(x)
2. Jika P(x) = f(x). g(x) maka f(x) dan g(x) adalah faktor dari P(x). 

Contoh soal teorema faktor

1. Jika salah satu akar dari f(x) = x⁴+ mx³-6x²+7x-6 adalah 2, tentukan akar linear lainnya!

Pembahasan :
Langkah pertama : carilah terlebih dahulu nilai m dengan substitusi polinomial f(2) = 0, karena nilai 2 termasuk akar dari f(x), maka diperoleh : 

Kemudian gunakan metode horner untuk menentukan faktor atau akarainnya, yaitu : 

Sehinga faktor (x) yang lain adalah (x-2), (x+3), dan (x2-x+1). Oleh sebab itu, faktor lain dari akar linearnya adalah -3. 

Soal dan Pembahasan 

1. Soal : Operasi pengurangan dari Polinomial

Jika P(x) = 2x⁴-5x³+6x²-x-2 dan Q(x) = x5-1, maka hasil P(x) – Q(x) beserta derajatnya adalah…….

Pembahasan :

Dengan mengurangkan suku-suku sejenisnya, diperoleh : 

P(x)- Q(x) memiliki nilai pangkat tertinggi 5, sehingga termasuk suku banyak berderajat 5. Jadi, hasil operasi P(x) – Q(x) adalah –x⁵+2x⁴-5x³+6x²-x-1

2. Soal : Operasi Penjumlahan dari Polinomial

Jika Px=3x-3x²-1 dan Qx=3x²+x-2, maka operasi dari P(x) + Q(x) beserta derajatnya adalah ………

Pembahasan :
Dengan menjumlahkan suku-suku sejenisnya, diperoleh : 

P(x) + Q(x) memiliki nilai pangkat tertinggi 1, sehingga termasuk suku banyak berderajat 1, jadi hasil operasi P(x) + Q(x) adalah 4x -3 dengan derajat 1.

3. Soal : Pembagian bersusun Polinomial

Sisa pembagian 3x³+6x²-5x-6 oleh x²+2x+3

Pembahasan :
Dengan cara pembagian bersusun, diperoleh : 

Jadi, sisa pembagian 3x³+6x²-5x-6 oleh x²+2x+3 adalah -14x-6