Peluang
Peluang yang dikenal juga sebagai probabilitas adalah cara untuk mengungkapkan pengetahuan atau kepercayaan bahwa suatu kejadian akan berlaku atau telah terjadi.
Probabilitas suatu kejadian adalah angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu kejadian. Nilainya di antara 0 dan 1. Kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 1 adalah kejadian yang pasti terjadi atau sesuatu yang telah terjadi. Misalnya jika seseorang jatuh pasti kebawah. Sedangkan suatu kejadian yang mempunyai nilai probabilitas 0 adalah kejadian yang mustahil atau tidak mungkin terjadi. Misalnya seekor kambing melahirkan seekor sapi.
B. Konsep Teori Peluang
1. Kaidah Pencacahan
Jika suatu kejadian dapat dilakukan dengan m cara yang berbeda, dan kejadian lain dengan n cara, maka banyaknya cara untuk melakukan kegiatan tersebut berturut-turut adalah m*n cara.
Contoh:
Untuk pergi dari kota A ke kota B dapat ditempuh dengan 3 jalan. Dan kota B ke kota C dapat ditempuh dengan 2 jalan. Dengan berapa cara seseorang dapat pergi dari kota A ke kota C melalui kota B?
Jawab:
 |
| Skema kota A, B, dan C |
 |
| Cara tempuh kota A-C |
Kita akan mendapatkan hasil yang sama dengan cara yang singkat, yaitu dengan mengkalikan keduanya, 3 x 2 = 6
2. Permutasi
Permutasi adalah susunan dari objek-objek atau unsur-unsur dengan memperlihatkan urutannya.
Ciri-ciri permutasi:
- diberikan posisi atau jabatannya
- tidak boleh diacak
Macam-macam permutasi:
a. Permutasi r unsur n unsur yang berbeda
nPr = n!
(n-r)!
Contoh:
1. 6 orang akan diangkat sebagai ketua OSIS, wakil, dan bendahara. Ada berapa susunan pengurus yang dapat dibentuk?
jawab:
dik: n = 6
r =3
dit: 6P3?
jawab: 6p3 = 6! = 6! = 6.5.4
(6-3)! 3!
2. 5P2 = 5! = 5! = 5.4.
(5-2)! 3!
b. Permutasi n unsur yang berbeda
Pn = n!
Contoh:
1. Permutasi dari kata "DAUN"!
jawab:
dik: n = 4
dit: P4?
jawab:
P4= 4! = 4.3.2.1 = 24
2. 5 orang tidur ditikar panjang masing-masing dari mereka saling bertukar posisi. Ada berapa susunan yang dibentuk?
dik: n=5
dit: P5?
jawab:
P5 = 5.4.3.2.1 = 120
c. Permutasi n unsur dengan unsur ada yang sama
Pu = n!
n1!.n2!...nt!
Contoh:
1. Permutasi dari kata "PAPAN"!
dik: n=5
n1=P=2
n2=A=2
dit: Pu?
jawab:
Pu = 5! = 5
2!.2!
2. Permutasi dari kata "BANDUNG"!
dik: n=7
n1=N=2
dit: Pu?
jawab:
Pu = 7! = 7.6.5.4.3.
2!
d. Permutasi melingkar (siklis)
Psiklis = (n-1)!
Contoh:
7 orang sedang melakukan sidang dengan posisi melingkar. Ada berapa susunan yang berbeda jika posisi masing-masing berganti posisi?
jawab:
Psiklis = (7-1)! = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
3. Kombinasi
Kombinasi adalah unsur-unsur atau objek-objek yang tidak memerhatikan urutannya.
Ciri-ciri kombinasi:
- boleh diacak
- tidak diberikan posisi
nCr = n!
(n-r)!r!
Contoh:
1. 7 orang saling bersalaman masing-masing satu kali. Ada berapa salaman yang terjadi?
dik: n=7
r=2
dit: 7C2 = 7! = 7! = 7.
(7-2)!2! 5!.2!
2. 5C2 = 5! = 5! = 5
(5-2)!2! 3!.2!
a. Peluang dari suatu kejadian
Peluang dari suatu kejadian adalah perbandingan antara banyaknya titik sampel dan ruang sampel dari suatu kejadian dan dirumuskan dengan:
P = n
s
keterangan:
n = titik sampel
s = ruang sampel
Contoh:
Berapa peluang terambilnya satu kartu keriting dari satu set kartu bridge?
dik: s = 52
n = 13
dit: P ?
jawab:
P = n = 13 = 1
s 52 4
b. Frekuensi Harapan
Frekuensi harapan adalah munculnya kemungkinan dari suatu kejadian dan dirumuskan dengan:
FH = P(A) . N
keterangn:
FH = kemungkinan munculnya suatu kejadian
P(A) = peluang kejadian
N = banyaknya kejadian
Contoh:
Berapa frekuensi harapan munculnyta mata dadu prima jika dadu dilemparkan sebanyak 50 kali?
dik: s: 6
mata dadu prima: 2, 3 dan 5 -> n(A)= 3
N = 50
dit: FH?
jawab:
P(A) = n(A) = 3 = 1
s 6 2
FH = P(A) . N = 1 . 50 = 25
2
c. Kejadian saling lepas (kata penghubung "atau")
Jika P(A) adalah kejadian dari A dan P(B) adalah kejadian dari B, maka kejadian saling bebas antara A dan B adalah:
P (A U B) = P(A) + P(B)
Contoh:
Peluang terambilnya kartu AS atau kartu Raja dari satu set kartu bridge adalah?
dik: AS = 4
Raja = 12
dik: P(AS U Raja) ?
jawab:
P(AS U Raja) = P(AS) + P(Raja)
= 4 + 12
52 52
= 16
52
d. Kejadian tidak saling lepas
Jika A adalah munculnya kejadian A dan B adalah munculnya kejadian B dimana A dan B tidak saling lepas karena ada anggota A yang juga anggota B, maka peluang A atau peluang B adalah:
P (A U B) = P(A) + P(B) - P(IRISAN)
Contoh:
Sebuah dadu dilemparkan keatas satu kali. Tentukan peluang munculnya mata dadu ganjil atau dadu prima?
dik: mata dadu ganjil (A) = 1, 3 dan 5 -> 3
mata dadu prima (B) = 2, 3 dan 5 -> 3
irisan = 3 dan 5 -> 2
dit: P (A U B)?
jawab:
P (A U B) = P(A) + P(B) - P(IRISAN)
= 3 + 3 - 1
6 6 6
= 4
6
= 2
3
e. Kejadian saling bebas (kata penghubung "dan")
Jika P(A) adalah kejadian dari A dan P(B) adalah kejadian dari B, maka kejadian saling lepas antara A dan B adalah:
P (A ∩ B) = P(A) x P(B)
Contoh:
Didalam kantung terdapat 8 kelereng putih, 10 kelereng merah dan 6 kelereng kuning. Jika diambil satu kelereng kemudian dikembalikan lagi dan mengambil satu kelereng lagi, berapa peluang terambilnya kelereng kuning dan merah?
dik: s = 8+6+10 = 24
kuning = 6
merah = 10
putih = 8
dit: P (kuning ∩ merah) ?
jawab:
P (kuning ∩ merah) = P(kuning) x P(merah)
= 6 x 10
24 24
= 1 x 5
4 12
= 5
48
f. Kejadian tidak saling bebas
Ciri-ciri kejadian tidak saling lepas adalah dengan kata hubung "dan" dan pengambilan tidak dikembalikan lagi untuk pengambilan ke dua.
P (A ∩ B) = P(A) x P(B\A)
Contoh:
Didalam kotak terdapat 8 bola merah, 6 bola putih dan 2 bola kuning. Jika diambil dua bola secara berurutan dengan pengambilan pertama tidak dikembalikan lagi, tentukan peluang terambilnya keduanya merah?
dik: s = 8+6+10 = 16
merah1 = 8
merah2 = 7 (karena bola pertama tidak dikembalikan)
dit: P(merah1 x merah2) ?
jawab:
P(putih1 x putih2) = P(merah1) x P(merah2)
= 8 x 7
16 15
= 1 x 7
2 15
= 7
30
g. Penggunaan kombinasi dalam mencari peluang
Untuk peluang terambilnya objek lebih dari satu tetapi sekaligus.
P(A ∩ B) = mCa . nCb
m+nCa+b
Contoh:
Didalam kantung terdapat 4 kelereng biru, 2 kelereng merah dan 6 kelereng putih. Jika diambil 3 kelereng sekaligus, berapa peluang terambilnya 2 kelereng biru dan 1 merah ?
dik: s = 4+2+6 = 12
biru = 4
merah = 2
dit: P(biru ∩ merah) ?
jawab:
P(biru ∩ merah) = 4C2 . 2C1
12C3
=
= 6 . 2
220
= 12
220
Tidak ada komentar:
Posting Komentar