Pendidikan Matematika

1. Persamaan Kuadrat

Bentuk umum persamaan kuadrat dalam variabel x adalah

$\LARGE\boxed{\LARGE\boxed{{ax^{2}+bx+c=0}}}$

dengan $a,b,c\in \mathbb{R},a\neq 0$ $\left\{\begin{matrix} a=koefisien\: x^{2}\\ \\ b=koefisioen\: x\\ \\ c=konstanta \end{matrix}\right.$ .

2. Penyelesaian Persamaan Kuadrat

$\begin{array}{llll}\\ &&a.&Memfaktorkan\\ &&&\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )=0,\quad atau\\ &&&\displaystyle \frac{1}{a}\left ( ax-p \right )\left ( ax-q \right )=0,\quad jika\: koefisien\: x^{2}\: lebih\: dari\: \: 1\\ &&b.&melengkapkan\: kuadrat\: sempurna\\ &&&\displaystyle x=-\frac{1}{2}b\pm \sqrt{\left ( \frac{1}{2}b \right )^{2}-c},\quad jika\: \left ( \frac{1}{2}b \right )^{2}-c\geq 0\\ &&c.&Rumus\: ABC\\ &&&\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \end{array}$ .

Penggunaan Diskriminan D

Diskriminan dari persamaan kuadrat adalah $\left (D=b^{2}-4ac \right )$ .

Untuk menentukan jenis akar.

Jenis-Jenis Akar Persamaan Kuadrat

D > 0, berarti persamaan kuadrat memiliki 2 akar real dan berbeda.
D = 0, berarti persamaan kuadrat memilik 2 kar real dan sama/kembar.
D < 0, berarti persamaan kuadrat memiliki 2 akar tidak real(imajiner) dan berbeda.

3. Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Jumlah : $x_{1}+x_{2}=-\displaystyle \frac{b}{a}$ .
Selisih : $x_{1}-x_{2}=\pm \displaystyle \frac{\sqrt{D}}{a}$ .
Kali : $x_{1}\times x_{2}= \displaystyle \frac{c}{a}$ .

4. Persamaan Kuadrat Baru dengan Akar-Akar $\displaystyle \mathbf{x_{1}}$ dan $\displaystyle \mathbf{x_{2}}$ .

$\displaystyle \mathbf{x^{2}-\left ( x_{1}+x_{2} \right )x+x_{1}.x_{2}=0}$ .

Fungsi Kuadrat

Adalah suatu fungsi yang berupa $f\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c,\qquad dengan\: \: a,b,c\in \mathbb{R}$ .

Beberapa hal yang perlu diketahui berkaitan dengan persamaan dan fungsi kuadrat adalah:

Jika $a> 0$ , kurva terbuka ke atas.
Jika $a< 0$ , kurva terbuka ke bawah.
Jika $D> 0$ , kurva memotong sumbu x di dua titik yang berbeda.
Jika $D= 0$ , kurva menyinggung sumbu x.
Jika $D< 0$ , kurva tidak memotong dan tidak menyinggung sumbu x.

5.1 Fungsi kuadrat jika grafiknya menyinggung sumbu X di titik $\left ( x_{1},0 \right )$ dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

$\LARGE\boxed{y=f(x)=a\left ( x-x_{1} \right )^{2}}$ .

5.2 Fungsi kuadrat jika grafiknya memotong sumbu X di titik $\left ( x_{1},0 \right )\quad dan\quad \left ( x_{2},0 \right )$ adalah

$\LARGE\boxed{y=f\left ( x \right )=a\left ( x-x_{1} \right )\left ( x-x_{2} \right )}$ .

5.3 Fungsi kuadrat jika grafiknya melalui titik puncak/balik/ekstrim $\left ( x_{p},y_{p} \right )$ dan melalui sebuah titik tertentu, maka persamaan fungsi kuadratnya adalah

$\LARGE\boxed{y=f(x)=a\left ( x-x_{p} \right )^{2}+y_{p}}$ .

$\begin{array}{|l|p{3.5cm}|l|}\hline \multicolumn{3}{|c|}{\textbf{Fungsi Kuadrat}}\\\hline \textrm{Pengertian}&\textrm{Menggambar Grafik Fungsi Kuadrat}&\textrm{Keterangan}\\\hline &\textrm{Titik potong sumbu x}&\textrm{Jika ada}\\\cline{3-3} \begin{aligned}&\textrm{Suatu fungsi yang berbentuk}\\ &f(x)=ax^{2}+bx+c\\ & a,\: b,\: c,\: \in \mathbb{R},\: a\neq 0 \end{aligned}&&\begin{aligned}&\textrm{untuk titik potong terhadap sumbu x }\\ &\textrm{Jika y = 0 maka }\: ax^{2}+bx+c=0\\ &\textrm{Selanjutnya tinggal menentukan nilai D}\\ &\textrm{Jika} \: D>0\\ &\textrm{maka grafik memotong sumbu x}\\ &\textrm{di dua tempat berbeda}\\ &\textrm{yaitu di} \: (x_{1},0)\: \textrm{dan}\: (x_{2},0).\\ &\textrm{dan jika D = 0}\\ &\textrm{maka grafik hanya menyinggung}\\ &\textrm{sumbu x di satu titik}\\ &\textrm{yaitu di }\: (x_{1},0)\\ &\textrm{dan jika}\: D<0 \\ &\textrm{maka grafik tidak memotong}\\ &\textrm{sumbu x} \end{aligned}\\\cline{2-3} &\textrm{Titik potong sumbu y}&\begin{aligned}&\textrm{titik potong terhadap}\\ &\textrm{sumbu y, jika x = 0}\\ &y=f(x)=ax^{2}+bx+c\\ &y=f(0)=a(0)^{2}+b(0)+c\\ &y=c \end{aligned}\\\cline{2-3} &\textrm{Menentukan Sumbu Simetri (SS)}&x=\displaystyle \frac{-b}{2a}\\\cline{2-3} &\textrm{Menentukan Titik Puncak}&\left ( \displaystyle \frac{-b}{2a},\displaystyle \frac{D}{-4a} \right )\\\cline{2-3} &\textrm{Posisi grafik}&\textrm{Jika}\: a>0\: \textrm{maka grafik terbuka ke atas}\\\cline{3-3} &&\textrm{Jika}\: a<0\: \textrm{maka grafik terbuka ke bawah}\\\hline \end{array}$

Pertidaksamaan Kuadrat

Bentuk umum:

$\LARGE\boxed{\begin{aligned}&\left.\begin{matrix} ax^{2}+bx+c< 0\\ ax^{2}+bx+c\leq 0\\ ax^{2}+bx+c> 0\\ ax^{2}+bx+c\geq 0 \end{matrix}\right\}\: dengan\: a,\: b,\: \textrm{dan}\: c\: \in \mathbb{R},\: a\neq 0 \end{aligned}}$

$\LARGE\fbox{\fbox{Contoh Soal}}$

1. Persamaan kuadrat $\mathbf{x^{2}-9x+3}$ mempunyai akar $r$ dan $s$ . Jika $\mathbf{x^{2}-bx+c}=0$ memiliki akar $\mathbf{r^{2}}$ dan $\mathbf{s^{2}}$ , maka nilai dari $\displaystyle \mathbf{\frac{a}{b}}$ adalah ….

Jawab:

$\begin{array}{llll}\\ &&&x^{2}-9x+3=0\left\{\begin{matrix} r\\ \\ s \end{matrix}\right.\\ &&&\displaystyle r+s=9\\ &&&\displaystyle rs=3\\ &&&x^{2}-bx+c=0\left\{\begin{matrix} r^{2}\\ \\ s^{2} \end{matrix}\right.\\ &&&\displaystyle \frac{b}{c}=\frac{\left ( r+s \right )^{2}-2rs}{\left ( rs \right )^{2}}=\frac{9^{2}-2.3}{3^{2}}=\frac{25}{3} \end{array} \\\\Jadi\quad \displaystyle \frac{b}{c}=\frac{25}{3}$ .

2. Diketahui persamaan kuadrat $x^{2}+2ax+b=0$ memiliki akar yang berlawanan $\displaystyle \left ( x_{1}=-x_{2} \right )$
, tentukanlah $a$ dan $b$ .

Jawab:

Diketahui bahwa

$x^{2}+2ax+b=0\left\{\begin{matrix} a=1\\ b=2a\\ c=b \end{matrix}\right.\\\\\\\\ Sehingga\:untuk\\\\\\ \begin{aligned}x_{1}&=-x_{2}\\ x_{1}+x_{2}&=0\\ \left ( -2a \right )&=0\\ a&=0\\\\ serta\\\\ x_{1}.x_{2}&=b\\ \left ( -x_{2} \right ).x_{2}&=b\\ -x_{2}^{2}&=b \end{aligned}$

3. Tentukanlah semua nilai $c$ sehingga persamaan $\displaystyle \mathbf{x^{2}-4x-c-\sqrt{8x^{2}-32x-8c}}=0$ memiliki tepat dua solusi real untuk $c$ .

Jawab:

$\begin{aligned}x^{2}-4x-c-\sqrt{8x^{2}-32x-8c}&=0\\ x^{2}-4x-c&=\sqrt{8x^{2}-32x-8c}\qquad (dikuadratkan\: masing-masing\: ruas)\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )^{2}&=8x^{2}-32x-8c\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )^{2}-8\left ( x^{2}-4x-c \right )&=0\\ \left ( x^{2}-4x-c \right )\left ( x^{2}-4x-c-8 \right )&=0\\\\\\ \end{aligned}\\ karena\: D\geq 0\: (memiliki\: 2\: akar\: real)\\\\\\ \begin{aligned}x^{2}-4x-c=0&\qquad atau\qquad x^{2}-4x-c-8=0\\ D=\left ( -4 \right )^{2}-4.1.(-c)\geq 0&\qquad atau\qquad D=\left ( -4 \right )^{2}-4.1.(-c-8)\geq 0\\ 16+4c\geq 0&\qquad atau\qquad 16+4c+32\geq 0\\ c\geq -4&\qquad atau\qquad c\geq -12 \end{aligned}$ .

Kita ambil yang $c\geq -4$ .

Catatan:

Jawaban ini sekaligus koreksi jawaban di ebook Materi dan Contoh Soal Olimpiade Matematika MA/SMA pada soal yang sama. Apabila pembaca sekalian masih menemukan ada kesalahan, saya dengan senang hati menerima masukan dan sekaligus solusi yang paling tepat dari pembaca sekalian untuk pencerahan kepada saya khususnya dan pemirsa pada umumnya).

4. Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar-akar dari persamaan $\mathbf{ 2x^{2}-5x-3=0}$ , maka tentukanlah nilai berikut tanpa menyelesaikan persamaannya terlebih dahulu

$\begin{array}{l}\\ a.\quad \alpha ^{2}+\beta ^{2}\qquad\quad b.\quad \frac{2}{\alpha }+\frac{2}{\beta }\qquad\quad c.\quad 3\alpha +3\beta\qquad d.\quad \alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2}\\\\ e.\quad \frac{1}{\alpha -4}+\frac{1}{\beta -4}\qquad f.\quad \alpha ^{3}+\beta ^{3}\qquad g.\quad \left ( \alpha -\beta \right )^{2} \end{array}$ .

Jawab:

Diketahui persamaan

$2x^{2}-5x-3=0\left\{\begin{matrix} a=2\\ b=-2\\ c=-3 \end{matrix}\right.\\\\\\ \begin{aligned}\alpha +\beta &=-\frac{b}{a}\\ &=-\left ( \frac{-5}{2} \right )=\frac{5}{2}\\\\ \alpha \beta &=\frac{c}{a}\\ &=\frac{-3}{2} \end{aligned}\\\\\\ Perlu\: diingat\: juga\\\\ \left ( \alpha +\beta \right )^{2}=\alpha ^{2}+2\alpha \beta +\beta ^{2}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&a.&\alpha ^{2}+\beta ^{2}=\left ( \alpha +\beta \right )^{2}-2\alpha \beta =\displaystyle \left ( \frac{5}{2} \right )^{2}-2\left ( -\frac{3}{2} \right )\\ &&&=\displaystyle \frac{25}{4}+3 =\frac{37}{4}\\\end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&b.&\displaystyle \frac{2}{\alpha }+\frac{2}{\beta }=\frac{2\left ( \alpha +\beta \right )}{\alpha \beta }\\ &&&=\displaystyle \frac{2\left ( \frac{5}{2} \right )}{-\frac{3}{2}}=-\frac{10}{3}\end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&c.&\displaystyle 3\alpha +3\beta =3\left ( \alpha +\beta \right )=3\left ( \frac{5}{2} \right )=\frac{15}{2}\end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&d.&\displaystyle \alpha ^{2}\beta +\alpha \beta ^{2}=\alpha \beta \left ( \alpha +\beta \right )\\ &&&=\displaystyle \left ( -\frac{3}{2} \right )\left ( \frac{5}{2} \right )\\ &&&=\displaystyle -\frac{15}{4} \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&e.&\displaystyle \frac{1}{\alpha -4}+\frac{1}{\beta -4}=\frac{\left ( \beta -4 \right )+\left ( \alpha -4 \right )}{\left ( \alpha -4 \right )\left ( \beta -4 \right )}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{\alpha +\beta -8}{\alpha \beta -4\left ( \alpha +\beta \right )+16}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{\frac{5}{2}-8}{\left ( -\frac{3}{2} \right )-4\left ( \frac{5}{2} \right )+16}\times \left ( \frac{2}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{5-16}{-3-20+32}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{-11}{9}\\\\ &&&=\displaystyle -\frac{11}{9} \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&f.&\displaystyle \alpha ^{3}+\beta ^{3}=\left ( \alpha +\beta \right )^{3}-3\alpha \beta \left ( \alpha +\beta \right )\\ &&&=\displaystyle \left ( \frac{5}{2} \right )^{3}-3\left ( -\frac{3}{2} \right )\left ( \frac{5}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{125}{8}+\frac{45}{4}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{215}{8} \end{array}$ .

$\begin{array}{llll}\\ &&g.&\displaystyle \left ( \alpha -\beta \right )^{2}=\alpha ^{2}-2\alpha \beta +\beta ^{2}\\ &&&=\alpha ^{2}+\beta ^{2}-2\alpha \beta \\ &&&=\displaystyle \frac{37}{4}-2\left ( -\frac{3}{2} \right )\\\\ &&&=\displaystyle \frac{37}{4}+\frac{12}{4}\\\\ &&&=\displaystyle \frac{49}{4} \end{array}$ .

A. Bentuk Umum dan Sifat Parabola

Kurva fungsi kuadrat y = f( x ) = ax2 + bx + c, a tidak sama dengan nol ( 0 ) berbentuk parabola.

Jika nilai a > 0 maka parabola terbuka ke atas dan mempunyai nilai ekstrem minimum

Jika nilai a < 0 maka parabola terbuka ke bawah dan mempunyai nilai ekstrem maksimum

Koordinat titik puncak / titik ekstrem / titik stationer / titik balik parabola adalah ( Xp , Yp ) dengan :

Xp = absis ( x ) titik puncak = sumbu simetri = absis ( x ) saat mencapai nilai maksimum/minimum
Yp = ordinat ( y ) titik puncak = nilai ekstrem/nilai stationer/nilai maksimum/nilai minimum

B. Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat / Parabola

Langkah-langkah dalam membuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola ( y = ax2 + bx + c) :

1. menentukan titik potong grafik dengan sumbu x → y = 0

kemudian difaktorkan sehingga diperoleh akar-akarnya yaitu x1 dan x2 . jika kesusahan dalam memfaktorkan coba di cek dulu nilai D nya….

jika D < 0 maka fungsi tersebut memang tidak mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat sehingga sketsa grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

jika D > 0 maka fungsi tersebut mempunyai akar-akar persamaan fungsi kuadrat namun kita kesulitan dalam menentukannya… bisa jadi karena angkanya yang susah difaktorkan atau faktornya dalam bentuk desimal. Akar-akarnya dapat kita cari dengan rumus abc :

setelah kita mendapatkan nilai x1 dan x2 maka titik potong grafik fungsi kuadrat dengan sumbu x :
( x1 , 0 ) dan ( x2 , 0 )

2. menentukan titik potong grafik dengan sumbu y → x = 0karena x = 0 maka y = c dan titik potong dengan sumbu y = ( 0 , c )

3. menentukan sumbu simetri ( xp ) dan titik ekstrem ( yp )

dari penentuan sumbu simetri ( xp ) dan nilai eksterm ( yp ) diperoleh titik puncak grafik fungsi kuadrat/parabola : ( Xp , Yp )

Posisi grafik fungsi kuadrat/parabola terhadap sumbu x
mengulang pembahasan mengenai titik potong sumbu x → y = 0 ada 3 kemungkinan :

D > 0 → grafik fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik
D = 0 → grafik fungsi kuadrat menyinggung sumbu x di satu titik
D < 0 → grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu x

dengan menggabungkan dengan nilai a nya dapat dibuat sketsa grafik fungsi kuadrat/parabola :

C. Persamaan Fungsi Kuadrat / Parabola

1. Diketahui tiga titik sembarang

Rumus : y = ax2 + bx + c

nilai a, b dan c ditentukan dengan eliminasi.

2. Parabola memotong sumbu x di dua titik ( x1 , 0 )dan ( x2 , 0 ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x – x1 ).( x – x2 )

nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

3. Parabola menyinggung sumbu x di satu titik ( x1 , 0 ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x – x1 )2
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

4. Parabola melalui titik puncak ( xp , yp ) dan melalui satu titik sembarang.

Rumus : y = a ( x – xp )2 + yp
nilai a ditentukan dengan memasukkan titik sembarang tersebut ke x dan y.

D. Hubungan Kurva Persamaan Kuadrat / Parabola dan Persamaan Garis Lurus

Pendidikan Matematika

Kamis, 12 Desember 2019

Tidak ada komentar:

Posting Komentar