Kamis, 12 Desember 2019

HIMPUNAN


  1. Arti dari Himpunan
    Kumpulan objek yang didefinisikan dalam 1 kesatuan & terdefinisikan dengan jelas.
    Contoh:
    • Kumpulan anak-anak yang berusia dibawah 10 tahun (Himpunan).
    • Kumpulan anak-anak yang pintar (Bukan himpunan,
    sebab "pintar" tidak memiliki tolak ukur / standar yang jelas)
    Cara Penulisan Himpunan:
    1. Nama himpunan dalam huruf kapital
    2. Anggota himpunan ditulis dalam kurung kurawal { }
    3. Setiap anggota himpunan dipisahkan dengan tanda koma ","
    4. Anggota himpunan yang tidak terhingga ditulis dengan tanda 3 titik "..."
      Contoh: A = {1,2,3,4,5,...}
  2. Ada 3 cara menyatakan himpunan:
    1. Deskripsi, dengan kata-kata.
    2. Tabulasi, dengan mendaftarkan semua anggota.
    3. Rule, dengan notasi pembentuk himpunan.
    Contoh:
    A adalah himpunan bilangan cacah kurang dari 10.
    1. Deskripsi: A = { bilangan cacah kurang dari 10 }
    2. Tabulasi: A = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
    3. Rule: A = { x | x bilangan cacah kurang dari 10}
      atau
      Rule: A = { x | x < 10, x bilangan cacah}
      • Kedua contoh Rule diatas dibaca: "A adalah himpunan anggota x, dimana x adalah bilangan cacah kurang dari 10.
  3. Anggota Himpunan
    " ∈ " : anggota
    " ∉ " : bukan anggota
    Banyaknya anggota himpunan ditulis dengan notasi n(A).
    Contoh:
    B={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} → n(B)=10
    0 ∈ B → 0 adalah anggota himpunan B
    2 ∈ B → 2 adalah anggota himpunan B
    10 ∈ B → 10 bukan anggota himpunan B
    12 ∈ B → 12 bukan anggota himpunan B
  4. Macam-macam Himpunan
    1. Himpunan Semesta : Semua anggota yang sedfang dibicarakan.
    2. Himpunan Kosong : himpunan yang tidak memiliki anggota, dinyatakan dalam {} atau ∅.
      Catatan: Setiap himpunan selalu mempunyai himpunan kosong.
    3. himpunan Bagian : anggota suatu himpuan yang menjadi anggota himpunan lain.
      " ⊂ " : himpunan bagian
      " ⊄ " : bukan himpunan bagian
      Contoh:
      S = { bilangan asli kurang dari 10 }={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
      A = { bilangan asli ganjil kurang dari 10 }={1,3,5,7,9}
      B = { bilangan asli genap kurang dari 10 }={2,4,6,8}
      A ⊂ S → himpunan A adalah himpunan bagian dari S
      B ⊂ S → himpunan B adalah himpunan bagian dari S
      A ⊄ B → himpunan A bukan himpunan bagian dari B
      Cara menghitung total himpunan bagian:
      Total himpunan bagian A=2n(A)
      dimana n(A)=banyaknya anggota himpunan A;
      Cara menghitung jumlah himpunan bagian dengan k anggota:
      • Metode Rumus:
      Jika A=2n(A), maka jumlah himpunan bagian A yang memiliki k anggota =
      m!
      (m−k)!×k!

      dimana ! adalah Faktorial. Contoh 6!=6⋅5⋅4⋅3⋅2⋅1=720 (dikali mundur sampai satu)
      • Metode Segitiga Pascal:
      1Anggota himpunan → { }n(A)=011Anggota himpunan → {a}n(A)=1121Anggota himpunan → {a,b}n(A)=21331Anggota himpunan → {a,b,c}n(A)=314641Anggota himpunan → {a,b,c,d}n(A)=415101051
      Anggota himpunan → {a,b,c,d,e}n(A)=5Ambil contoh n(A)=5, terdiri dari:
      1 → k=0 himpunan kosong {}
      5 → k=1 anggota: {a},{b},{c},{d},{e}
      10 → k=2 anggota: {a,b},{a,c},{a,d},{a,e},{b,c},{b,d},{b,e},{c,d},{c,e},{d,e}
      10 → k=3 anggota: {a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,d},{a,c,e},{a,d,e},{b,c,d},{b,c,e},{b,d,e},{c,d,e}
      5 → k=4 anggota: {a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e},{a,c,d,e},{b,c,d,e}
      1 → k=5 anggota: {a,b,c,d,e}
      Dengan total himpunan n(A)=5 adalah 1+5+10+10+5+1=32 himpunan bagian
      Contoh:
      A = {4 huruf abjad pertama}={a,b,c,d} → n(A)=4
      Total himpunan bagian A=2n(A)=24=16
      Jumlah himpunan bagian yang memiliki:
      k anggota =
      m!
      (m−k)!k!
      , dimana m=4
      1 anggota (k=1) =
      4!
      (4−1)!1!
      =
      4!
      3!1!
      =
      4⋅3⋅2⋅1
      3⋅2⋅1×1
      =4
      2 anggota (k=2) =
      4!
      (4−2)!2!
      =
      4!
      2!2!
      =
      4⋅3⋅2⋅1
      2⋅1×2⋅1
      =
      12
      2
      =6
      3 anggota (k=3) =
      4!
      (4−3)!3!
      =
      4!
      1!3!
      =
      4⋅3⋅2⋅1
      1×3⋅2⋅1
      =4
      atau dengan segitiga Pascal:
      1Anggota himpunan → { }n(A)=011Anggota himpunan → {a}n(A)=1121Anggota himpunan → {a,b}n(A)=21331Anggota himpunan → {a,b,c}n(A)=314641Anggota himpunan → {a,b,c,d}n(A)=4
      Baris n(A)=4, terdiri dari:
      1 → k=0 himpunan kosong {}
      4 → k=1 anggota: {a},{b},{c},{d}
      6 → k=2 anggota: {a,b},{a,c},{a,d},{b,c},{b,d},{c,d}
      4 → k=3 anggota: {a,b,c},{a,b,d},{a,c,d},{b,c,d}
      1 → k=4 anggota: {a,b,c,d}
      Total himpunan n(A)=4 adalah 1+4+6+4+1=16 himpunan bagian
  5. Diagram Venn
    Diagram Venn dapat digunakan untuk menyatakan hubungan dan operasi-operasi antara 2 himpunan atau lebih.

    Aturan Diagram Venn:
    1. Himpunan Semesta (S) digambarkan dengan persegi panjang & lambang S ditulis di pojok kiri atas.
    2. Setiap himpunan bagian digambarkan dengan lingkaran & nama himpunan tersebut ditulis di dekat lingkaran himpunan tersebut
    3. Setiap anggota himpunan ditunjukkan dengan noktah (•) & nama anggota ditulis di dekat noktah tersebut.
    Contoh:
    S = { bilangan asli kurang dari 10 }={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
    A = { bilangan asli ganjil kurang dari 10 }={1,3,5,7,9}
    B = { bilangan asli genap kurang dari 10 }={2,4,6,8}
    Diagram Venn:
    S
    A
    •1
    •3
    •5    •7
    •9
    B
    •2
    •4    •6
    •8
    Keterangan: A dan B saling lepas karena tidak ada anggota yang sama.
  6. Hubungan antar Himpunan
    Hubungan antar himpunan terbagi menjadi:
    1. Himpunan Sama ( = )
      Jika kedua himpunan mempunyai jenis anggota yang sama, dapat ditulis A=B (A sama dengan B)
      Contoh:
      A={a,i,r}
      B={r,i,a}
      Kedua himpunan mempunyai jenis anggota yang sama.
      Diagram Venn:
      S
      A=B
      •a•i•r
    2. Himpunan Ekuivalen ( ∼ )
      Jika kedua himpunan mempunyai jumlah anggota yang sama, ditulis n(A)=n(B) atau A~B (A ekuivalen B)
      Contoh:
      A={1,2,3,4,5} → n(A)=5
      B={a,e,i,o,u} → n(B)=5
      Kedua himpunan mempunyai jumlah anggota yang sama.
    3. Himpunan Saling Lepas ( || atau ⊃⊂ )
      Jika kedua himpunan tidak mempunyai anggota yang sama, ditulis A||B atau A⊃⊂B (A saling lepas dengan B)
      Contoh:
      A={bilangan ganjil}
      B={bilangan genap}
      Kedua himpunan tidak mempunyai jenis anggota yang sama.
      Diagram Venn:
      S
      A
      •1•3•5
      B
      •2•4•6
    4. Himpunan Tidak Saling Lepas ( ⊃⊂ )
      Jika kedua himpunan mempunyai sebagian anggota yang sama dan sebagian lagi berbeda, maka dapat ditulis dengan ⊃⊂ (A tidak saling lepas dengan B)
      Contoh:
      A={1,2,3,4,5,6}
      B={2,4,7,8,9}
      Kedua himpunan ini mempunyai anggota yang sama yaitu 2 & 4.
      Diagram Venn:
      S
      A
      •1•3•5•6
      •2•4
      B
      •7•8•9
    5. Himpunan Bagian
      Disebut sebagai himpunan bagian apabila himpunan tersebut memiliki jenis anggota yang semua anggota-anggotanya merupakan bagian dari suatu himpunan lainnya.
      Contoh:
      A={a,b,c,d}
      B={a,b}
      C={b,c}
      D={c,d}
      E={a,b,c}
      Diagram Venn (B ⊂ A):
      S
      A
      •c
      B
      •b•a•d
      Himpunan B merupakan bagian dari himpunan A.
      Diagram Venn (C ⊂ A):
      S
      A
      •a
      C
      •b•c•d
      Himpunan C merupakan bagian dari himpunan A.
      Diagram Venn (D ⊂ A):
      S
      A
      •a
      D
      •d•c•b
      Himpunan D merupakan bagian dari himpunan A.
      Diagram Venn (B ⊂ E):
      S
      E
      B
      •b•a•c
      Himpunan B merupakan bagian dari himpunan E.
  7. Irisan & Gabungan Himpunan
    1. Irisan himpunan A & B.
      Merupakan himpunan yang anggotanya terdapat pada himpunan A maupun himpunan B.
      Dapat ditulis A ∩ B (himpunan irisan A & B) dan dikenal dengan kata
      "dan".
      Notasi :
      A∩B={x|x∈A dan x∈B}
      dibaca: himpunan irisan A & B adalah x, dimana x adalah anggota himpunan A dan x adalah anggota himpunan B.

      Diagram Venn untuk hubungan:
      1. Himpunan Sama
        S
        A=B
        Semua anggota himpunan A & B merupakan A ∩ B
      2. Himpunan Sama
        S
        A
        B
        Tidak ada anggota dari himpunan A & B yang merupakan A ∩ B
      3. Himpunan Tidak Saling Lepas
        S
        A
        B
        Sebagian anggota himpunan A & B (daerah arsir) merupakan A ∩ B
      4. Himpunan Bagian
        S
        B
        A
        Semua anggota himpunan A (daerah arsir) merupakan A ∩ B
    2. Gabungan himpunan A & B.
      Merupakan himpunan yang berisikan semua anggota dari himpunan A dan B.
      Dapat ditulis A ∪ B (himpunan gabungan A & B) dan dikenal dengan kata
      "atau".
      Notasi :
      A∪B={x|x∈A atau x∈B}
      dibaca: himpunan gabungan A & B adalah x, dimana x adalah anggota himpunan A atau x adalah anggota himpunan B.

      Rumus untuk hitung anggota himpunan gabungan:
      n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)
      Contoh:
      A={1,2,3,4,5,6} →n(A)=6
      B={1,2,7} →n(B)=3
      A∩B={1,2} →n(A∩B)=2
      A∪B={1,2,3,4,5,6,7} →n(A∪B)=7
      Dengan Rumus:
      n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)
      =6+3−2
      =7

      Diagram Venn untuk hubungan:
      1. Himpunan Sama
        S
        A=B
        Semua anggota himpunan A & B merupakan A ∪ B
      2. Himpunan Sama
        S
        A
        B
        Semua anggota himpunan A & B merupakan A ∪ B
      3. Himpunan Tidak Saling Lepas
        S
        A
        B
        Semua anggota himpunan A & B merupakan A ∪ B
      4. Himpunan Bagian
        S
        B
        A
        Semua anggota himpunan A & B merupakan A ∪ B
  8. Komplemen
    Komplemen himpunan A (ditulis A' atau Ac) adalah semua anggota himpunan semesta yang bukan merupakan anggota himpunan A.
    Diagram Venn:
    S
    A
    Contoh:
    S={1,2,3,4,5,6}
    A={1,2,3}
    A'={4,5,6}
    Diagram Venn:
    S
    A
    •1•2•3•4•5•6
  9. Dalil De Morgan
    1. (A∪B)'=A'∩B'
      Diagram Venn:
      S
      A
      B
    2. (A∩B)'=A'∪B'
      Diagram Venn:
      S
      A
      B

Diposting oleh di

Tidak ada komentar:

Posting Komentar

Langganan: Posting Komentar (Atom)